Un número cuadrado perfecto en matemáticas, o un número cuadrado, es un número entero que es el cuadrado de algún otro; dicho de otro modo, un número cuya raíz cuadrada es un número entero. Por ejemplo, 9 es un número cuadrado perfecto ya que puede ser escrito como 3 × 3. 32 = 9 Un número entero positivo que no tiene divisores cuadrados (excepto el 1) se denomina número libre de cuadrados. Contenido 1 Propiedades 2 Ejemplos 3 Cuadrados como sumas 4 Números cuadrados impares y pares 5 Teorema de Chen 6 Véase también 7 Referencias 8 Bibliografía 9 Enlaces externos // editar Propiedades El número m es un cuadrado perfecto si se pueden «ordenar» sus puntos en una figura cuadrada: La fórmula más general para el n-ésimo número cuadrado es n2. Este resultado es también igual a la suma de los primeros n números impares, tal y como puede verse en como puede ser visto en las ilustraciones superiores, donde un cuadrado resulta de los anteriores mediante la adicción de un número impar de puntos (marcado con una '+'). De esta forma, por ejemplo se tiene que: 52 = 25 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9. El teorema de los cuatro cuadrados de Lagrange establece que cualquier número entero positivo puede ser escrito como la suma de cuatro perfectos cuadrados. Tres cuadrados no son suficientes para ser representados como números de la forma 4k(8m + 7). Un número positivo puede ser representado como una suma de dos cuadrados precisamente si la factorización en números primos no contiene potencias impares de la forma 4k + 3. Esta es una generalización del problema de Waring. Un número cuadrado puede ser terminado en los dígitos 00,1,4,6,9, o 25 en base 10, como sigue: Si el último dígito de un número es 0, su cuadrado acaba en 00 y los precedente dígitos deben ser también un cuadrado. Si el último dígito de un número es 1 o 9, su cuadrado acaba en 1 y el número formado por su precedente debe ser divisible por cuatro. Si el último dígito de un número es 2 u 8, su cuadrado acaba en 4 y el precedente dígito debe ser un número par. Si el último dígito de un número es 3 o 7, su cuadrado acaba en el dígito 9 y el número formado por su precedentes dígitos debe ser divisible entre cuatro. Si el último dígito de un número es 4 o 6, su cuadrado acaba en 6 y el precedente dígito debe ser impar. Si el último dígito de un número es 5, su cuadrado acaba en 25 y los precedentes dígitos deben ser 0, 2, 06, o 56. editar Ejemplos 12 = 1 22 = 4 32 = 9 42 = 16 52 = 25 Los primeros 50 cuadrados perfectos son: 02 = 0 ((sucesión A000290 en OEIS)) 12 = 1 22 = 4 32 = 9 42 = 16 52 = 25 62 = 36 72 = 49 82 = 64 92 = 81 102 = 100 112 = 121 122 = 144 132 = 169 142 = 196 152 = 225 162 = 256 172 = 289 182 = 324 192 = 361 202 = 400 212 = 441 222 = 484 232 = 529 242 = 576 252 = 625 262 = 676 272 = 729 282 = 784 292 = 841 302 = 900 312 = 961 322 = 1024 332 = 1089 342 = 1156 352 = 1225 362 = 1296 372 = 1369 382 = 1444 392 = 1521 402 = 1600 412 = 1681 422 = 1764 432 = 1849 442 = 1936 452 = 2025 462 = 2116 472 = 2209 482 = 2304 492 = 2401 502 = 2500 512 = 2601 editar Cuadrados como sumas El n-ésimo número cuadrado puede ser calculado del resultado obtenido en las dos anteriores posiciones y al que se le añade el (n − 1)-ésimo cuadrado de sí mismo, sustrayendo el (n − 2)-enésimo cuadrado, y añadiendo 2 (n2 = 2(n − 1)2 − (n − 2)2 + 2). Por ejemplo, 2×52 − 42 + 2 = 2×25 − 16 + 2 = 50 − 16 + 2 = 36 = 62. Es a menudo útil notar que el cuadrado de cualquier número puede ser representado como la suma 1 + 1 + 2 + 2 +... + n − 1 + n − 1 + n. Por ejemplo, el cuadrado de 4 o 42 es igual a 1 + 1 + 2 + 2 + 3 + 3 + 4 = 16. Este es el resultado de añadir una columna y columna de grosor uno al grafo cuadrado de lado tres (como en un tablero de tres en raya). Se puede añadir también tres lados y cuatro a la parte superior para obtener un cuadrado. Esto puede ser también útil para encontrar el cuadrado de un número grande de forma inmediata. Por ejemplo, el cuadrado de 52 = 502 + 50 + 51 + 51 + 52 = 2500 + 204 = 2704. Un número cuadrado puede ser considerado también como la suma de dos números triangulares consecutivos . La suma de dos números cuadrados consecutivos es un número cuadrado centrado. Cada cuadrado impar es además un número octogonal centrado. editar Números cuadrados impares y pares Los cuadrados de números pares, desde (2n)2 = 4n2. Los cuadrados de números impares desde (2n + 1)2 = 4(n2 + n) + 1. De esto se sigue que las raíces cuadradas de los cuadrados de los números pares son pares, y las raíces cuadradas de los números impares son igualmente impares. Este hecho se emplea mucho en las demostraciones (Véase raíz cuadrada de 2). editar Teorema de Chen Chen Jingrun demostró en 1975 que siempre existe un número p, que es o bien primo o bien producto de dos primos, entre n2 y (n + 1)2. editar Véase también Conjetura de Legendre Paradoja de Galileo editar Referencias Weisstein, Eric W. Square Number From MathWorld editar Bibliografía Conway, J. H. and Guy, R. K. The Book of Numbers. New York: Springer-Verlag, pp. 30-32, 1996. ISBN 0-387-97993-X editar Enlaces externos Alpertron.com.ar Un applet JAVA que descompone un número natural en la suma de cuatro cuadrados.