Acción (matemática) - Wikipedia, la enciclopedia libre a:lang(ar),a:lang(ckb),a:lang(fa),a:lang(kk-arab),a:lang(mzn),a:lang(ps),a:lang(ur){text-decoration:none}a.new,#quickbar a.new{color:#ba0000} /* cache key: eswiki:resourceloader:filter:minify-css:4:c88e2bcd56513749bec09a7e29cb3ffa */ if ( window.mediaWiki ) { mw.config.set({"wgCanonicalNamespace": "", "wgCanonicalSpecialPageName": false, "wgNamespaceNumber": 0, "wgPageName": "Acción_(matemática)", "wgTitle": "Acción (matemática)", "wgCurRevisionId": 50538716, "wgArticleId": 671146, "wgIsArticle": true, "wgAction": "view", "wgUserName": null, "wgUserGroups": ["*"], "wgCategories": ["Wikipedia:Wikificar", "Wikipedia:Wikificar (aún sin clasificar)", "Teoría de grupos", "Álgebra"], "wgBreakFrames": false, "wgRestrictionEdit": [], "wgRestrictionMove": [], "wgSearchNamespaces": [0, 100, 104], "wgVectorEnabledModules": {"collapsiblenav": true, "collapsibletabs": true, "editwarning": true, "expandablesearch": false, "footercleanup": false, "sectioneditlinks": false, "simplesearch": true, "experiments": true}, "wgWikiEditorEnabledModules": {"toolbar": true, "dialogs": true, "hidesig": true, "templateEditor": false, "templates": false, "preview": false, "previewDialog": false, "publish": false, "toc": false}, "wgTrackingToken": "931339a107758c5fb6edb92492a8be38", "Geo": {"city": "", "country": ""}, "wgNoticeProject": "wikipedia"}); } if ( window.mediaWiki ) { mw.loader.load(["mediawiki.page.startup"]); } Acción (matemática) De Wikipedia, la enciclopedia libre Saltar a: navegación, búsqueda Para otros usos de la palabra acción, véase Acción. Una acción de un grupo (G, * ) sobre un conjunto X es una aplicación que cumple: donde e es el elemento neutro del grupo. . Estas dos condiciones implican que, para cada elemento g de G, la aplicación es una función biyectiva. Otra posible definición, que se deriva de esto, es que una acción es un homomorfismo de grupos. . Contenido 1 Notación alternativa 2 Ejemplos 3 Tipos de acción 4 Órbita 5 Órbitas y estabilizadores 6 Ecuación de clase 7 Referencias editar Notación alternativa Otra notación utilizada para las acciones es . Así los axiomas de acción se reescriben: editar Ejemplos Ejemplo: El ejemplo más sencillo es la representación trivial: para cualquier y , ϕ(g,x) = x. Ejemplo: El grupo de tres elementos actúa sobre el plano complejo de la siguiente manera: ϕ(0,x) = x ϕ(1,x) = wx ϕ(2,x) = w2x donde w es una raíz cúbica de la unidad (si tomamos la raíz w = 1 la representación es trivial). Un tipo importante de acción es aquella en la que X es un espacio vectorial. Este tipo de acciones son el punto de partida de la teoría de la representación. editar Tipos de acción Una acción de un grupo se llama transitiva, o se dice que el grupo actúa transitivamente sobre un conjunto X, si dados dos elementos x e y cualesquiera del conjunto X, existe un elemento g del grupo que aplica el x en y, es decir: . editar Órbita En teoría de grupos la órbita de un elemento de un grupo , es la clase de equivalencia que contiene todos los elementos del grupo que se relacionan con bajo una relación de equivalencia específica. Un ejemplo es la relación en grupo dada por si y sólo si es conjugado a ; esto es, si existe un elemento del grupo tal que . La órbita de son todos los elementos de que pueden ser alcanzados mediante una conjugación desde . En este caso la órbita también se llama clase de conjugación del elemento. Obsérvese que dos órbitas de dos elementos (diferentes tal vez) tienen la misma órbita ssi los elementos están relacionados. editar Órbitas y estabilizadores Con una acción de un grupo en un conjunto uno tiene los siguientes conceptos: para cada tenemos el estabilizador de y que son los elementos del grupo que actúan trivialmente sobre el elemento . Es un subgrupo de y también es llamado subgrupo de isotropía que no necesariamente es un subgrupo normal. Y para el mismo , la órbita: que son los elementos del conjunto que se alcanzan desde por la acción de . Con estos dos conceptos tenemos: Hay una biyección . Las diferentes órbitas forman una partición de . Si entonces , donde . editar Ecuación de clase Bajo estas circunstancias tenemos la descomposición orbital que es una unión disjunta. Por lo que Además de que los números , siendo estos últimos los índices de los subgrupos . Por lo que uno obtiene la proto-ecuación de clase (ecuación de clase): Un caso especial de esta fórmula es cuando el grupo G actúa sobre sí mismo por conjugación: y con ésta uno obtiene la maquinaria efectiva para demostrar algunos resultados para los grupos finitos: el teorema de Cauchy y los teoremas de Sylow. editar Referencias Este artículo o sección necesita ser wikificado con un formato acorde a las convenciones de estilo. Por favor, edítalo para que las cumpla. Mientras tanto, no elimines este aviso puesto el 9 de octubre de 2011. También puedes ayudar wikificando otros artículos o cambiando este cartel por uno más específico. Herstein Lang Hall Burnside Kurosch Gallian Dorronsoro